隨機(jī)變量的矩生成函數(shù)
計(jì)算概率分布的均值和方差的一種方法是找到隨機(jī)變量X和X2的期望值。我們使用符號(hào)E（X）和E（X2）來(lái)表示這些期望值。通常，很難直接計(jì)算E（X）和E（X2）。為了克服這個(gè)困難，我們使用一些更先進(jìn)的數(shù)學(xué)理論和微積分。最終結(jié)果是使我們的計(jì)算更容易。
這個(gè)問(wèn)題的策略是定義一個(gè)新的變量t的新函數(shù)，稱為矩生成函數(shù)。這個(gè)函數(shù)允許我們通過(guò)簡(jiǎn)單地求導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算矩。
假設(shè)
在定義時(shí)刻生成功能之前，我們首先用符號(hào)和定義設(shè)置階段。我們讓X是一個(gè)離散的隨機(jī)變量。該隨機(jī)變量具有概率質(zhì)量函數(shù)f（x）。我們正在使用的樣本空間將用S表示。
我們不想計(jì)算X的期望值，而是要計(jì)算與X相關(guān)的指數(shù)函數(shù)的期望值。如果存在正實(shí)數(shù)r，使得E（EtX）存在并且對(duì)所有t是有限的在區(qū)間[-r，r]，那么我們可以定義X的矩生成函數(shù)。
定義
矩生成函數(shù)是上面指數(shù)函數(shù)的期望值。換句話說(shuō)，我們說(shuō)X的矩生成函數(shù)由下式給出：
M（t）=E（EtX）
這個(gè)期望值是公式∑etxf（x），其中求和取自所有x在樣本空間S。這可以是有限或無(wú)限和，取決于所使用的樣本空間。
屬性
矩生成函數(shù)具有許多與概率和數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的其他主題連接的功能。其中一些最重要的功能包括：
- 系數(shù)etb是X=b的概率。
- 矩生成函數(shù)具有**性屬性。如果兩個(gè)隨機(jī)變量的矩生成函數(shù)相互匹配，則概率質(zhì)量函數(shù)必須相同。換句話說(shuō)，隨機(jī)變量描述相同的概率分布。
- 矩生成函數(shù)可用于計(jì)算X。 的矩
計(jì)算矩
上面列表中的**一項(xiàng)解釋了時(shí)刻生成功能的名稱及其實(shí)用性。一些先進(jìn)數(shù)學(xué)指出，在我們制定的條件下，當(dāng)t=0時(shí)，存在任何階函數(shù)M（t）的導(dǎo)數(shù)。此外，在這種情況下，我們可以改變求和和和微分的順序相對(duì)于156 t 157，以獲得以下公式（所有求和都超過(guò)了樣本空間中158 x 159的值160 S 161）：
- M'（t）=∑xetxf（x）
- M'（t）=∑x2etxtxt（t）=xetxf（x） x2ee''（t）=∑x3etxf（x）
- M（n）'（t）=∑xnetxf（x）
如果我們?cè)谏鲜龉街性O(shè)置t=0，則etx項(xiàng)變?yōu)?em>e0=1。因此，我們得到了mo的公式隨機(jī)變量X：
- （0）253 E 254（255 X 252525257 258 259 M M 260（0）261 E 262（263 X X 264 X 264 X 265 2 266）267（0）261 E E 262（263 X X X 264 X 264 X 265 2 266）267>
- '（0）E 272（0）2525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525>（n）（0）=E（Xn）
這意味著，如果特定隨機(jī)變量存在矩生成函數(shù)，那么我們可以找到它的均值及其在矩生成函數(shù)導(dǎo)數(shù)方面的方差。平均值M'（0），方差M'（0）–[M'（0）]2。
