Chuck-a-Luck的預(yù)期價(jià)值
Chuck-a-Luck是一場偶然的游戲。三個(gè)骰子被卷繞，有時(shí)西瓜小知識(shí)在金屬絲框架中。由于這個(gè)框架，這個(gè)游戲也被稱為鳥籠。這種游戲更常見于肉食場而不是健身房。但是，由于使用隨機(jī)骰子，我們可以使用概率來分析這個(gè)游戲。更具體地說，我們可以計(jì)算這個(gè)游戲的預(yù)期價(jià)值。
Wagers
有幾種類型的賭注可以**。我們只會(huì)考慮單個(gè)數(shù)字的賭注。在這個(gè)賭注上，我們只需從一到六選擇一個(gè)特定的數(shù)字。然后我們滾動(dòng)骰子?？紤]可能性。所有的骰子，其中兩個(gè)，其中一個(gè)或沒有一個(gè)可以顯示我們選擇的數(shù)字。
假設(shè)這個(gè)游戲?qū)⒅Ц兑韵沦M(fèi)用：
- 如果所有三個(gè)骰子都與所選數(shù)字匹配，則為$3。
- $2如果正好兩個(gè)骰子與所選數(shù)字匹配。
- $1如果正好一個(gè)骰子與所選數(shù)字匹配。
如果沒有骰子與所選數(shù)字匹配，那么我們必須支付1美元。
這場比賽的預(yù)期價(jià)值是什么？換句話說，從長遠(yuǎn)來看，如果我們反復(fù)玩這場比賽，我們預(yù)計(jì)平均會(huì)贏得或失去多少？
概率
為了找到這個(gè)游戲的預(yù)期價(jià)值，我們需要確定四個(gè)概率。這些概率對應(yīng)于四個(gè)可能的結(jié)果。我們注意到，每個(gè)人的死亡都是獨(dú)立于其他人的。由于這種獨(dú)立性，我們使用乘法規(guī)則。這將有助于我們確定結(jié)果的數(shù)量。
我們還假設(shè)骰子是公平的。三個(gè)骰子中每一個(gè)的六個(gè)側(cè)面中的每一個(gè)都同樣可能被滾動(dòng)。
滾動(dòng)這三個(gè)骰子有6 x 6 x 6=216個(gè)可能的結(jié)果。這個(gè)數(shù)字將成為我們所有概率的分母。
有一種方法可以將所有三個(gè)骰子與所選數(shù)字相匹配。
單個(gè)模具有五種方法與我們選擇的數(shù)字不匹配。這意味著我們的骰子沒有一個(gè)可以匹配所選數(shù)字的5 x 5 x 5=125種方法。
如果我們只考慮兩個(gè)骰子匹配，那么我們有一個(gè)不匹配的死亡。
- 前兩個(gè)骰子有1 x 1 x 5=5種方法來匹配我們的數(shù)字，第三種方法不同。
- 第一個(gè)和第三個(gè)骰子有1 x 5 x 1=5種方法匹配，第二個(gè)是不同的。
- 第一個(gè)模具有5 x 1 x 1=5種方法不同，第二個(gè)和第三個(gè)模具匹配。
這意味著總共有15種方法可以**匹配兩個(gè)骰子。
我們現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算了獲得除一個(gè)結(jié)果之外的所有結(jié)果的方法的數(shù)量。有216卷可能。我們占了其中的1+15+125=141。這意味著剩余216-141=75。
我們收集以上所有信息，請參閱：
- 我們的數(shù)字與所有三個(gè)骰子匹配的概率是1/216。
- 我們的數(shù)字與正好兩個(gè)骰子匹配的概率是15/216。
- 我們的數(shù)字與正好一個(gè)骰子匹配的概率是75/216。
- 我們的數(shù)字與無骰子匹配的概率是125/216。
期望值
我們現(xiàn)在準(zhǔn)備好計(jì)算這種情況的預(yù)期值。期望值的公式要求我們將事件發(fā)生的概率乘以凈收益或損失。然后，我們將所有這些產(chǎn)品添加到一起。
期望值的計(jì)算如下：
（3） （1/216）+（2）（15/216）+（1）（75/216）+（-1）（125/216）3/216+30/216+75/216-125/216-17/216
這大約是-0.08美元。解釋是，如果我們反復(fù)玩這個(gè)游戲，平均每次我們會(huì)損失8美分玩。
