如何證明補體規(guī)則的概率
從概率公理可以推導出幾個概率定理。這些定理可以用來計算我們可能想知道的概率。一個這樣的結(jié)果被稱為補充規(guī)則。該語句允許我們通過知道補碼AC的概率來計算事件A的概率。在陳述補充規(guī)則之后，我們將看到如何證明這個結(jié)果。
補碼規(guī)則
事件A的補碼用AC表示。A的補碼是通用集中所有元素的集合，或樣本空間S，它們不是集合A的元素。
補碼規(guī)則由以下公式表示：
P（34 A 35 36 C 37）1-P（38 A 39）
在這里，我們看到事件的概率及其補充概率必須總和為1。
補體規(guī)則的證明
為了證明補碼規(guī)則，我們從概率公理開始。這些陳述是沒有證據(jù)的。我們將會看到，它們可以系統(tǒng)地用來證明我們關(guān)于事件補充概率的陳述。
- 概率的第一個公理是任何事件的概率都是非負實數(shù)。
- 概率的第二個公理是整個樣本空間的概率S是一個。象征性地，我們寫P（S）=1。
- 概率的第三個公理指出，如果A和B是互斥的（意思是它們有一個空交集），那么我們將這些事件并集的概率聲明為P（AUB）=P（A）+P（B）。
對于補碼規(guī)則，我們不需要使用上面列表中的第一個公理。
幼兒園環(huán)保小知識
為了證明我們的陳述，我們考慮事件86 A 87和88 AC。從集合論來看，我們知道這兩套有空交集。這是因為一個元素不能同時在A和A中。由于存在空交集，因此這兩組是互斥的。
兩個事件A和AC的并集也很重要。這些構(gòu)成了詳盡的事件，這意味著這些事件的結(jié)合是所有樣本空間S。
這些事實與公理相結(jié)合給了我們方程
1=P（S）=P（AUAC）=P（A）+P（AC）。
第一個平等是由于第二個概率公理。第二個平等是因為事件A和AC是詳盡的。第三個平等是因為第三個概率公理。
上述等式可以重新排列成我們上面提到的形式。我們必須做的就是從方程的兩邊減去A的概率。因此
1 P（150 A 151）+P（152 A 153 C 155）
成為等式
P（AC）=1–P（A）。
當然，我們也可以通過聲明來表達這一規(guī)則：
P（A）=1–P（AC）。
所有這三個等式都是同樣的說法。我們從這個證明中可以看出，只有兩個公理和一些集合理論才能幫助我們證明關(guān)于概率的新陳述。
